Eine quadratische Gleichung in der Normalform \(0=x^2+px+q\) lässt sich sehr einfach und schnell mit der pq Formel \(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt[2]{(\frac{p}{2})^2-q}\) lösen. Hier kannst Du kostenlos eine Excel Tabelle downloaden, welche beliebige quadratische Gleichung in die oben beschriebene Normalform umwandelt. Das Programm kontrolliert automatisch, ob keine, eine oder zwei Lösungen vorliegen und wirft sämtliche Zwischenergebnisse und Endergebnisse für die Berechnung druckfertig aus.
Hier erhälst Du die Downloaddatei
Quadratische Gleichungen numerisch lösen ist für Excel ein Kinderspiel. Das hier beschriebene Lösungsverfahren ist nur eines von vielen. Um Dir einfache unterschiedliche Lösungsansätze zu zeigen, findest Du in Folge vier Download-Dateien mit verschieden Berechnungsansätzen:
Excelfile für die grafische Lösung
Excelfile für den Satz von Vieta
Lade Dir am besten gleich mehrere Files herunter, vergleiche die Vorgehensweisen bei der Lösungsfindung und werde zum Experten beim Lösen von quadratischen Gleichungen.
Also dann viel Spaß beim Quadratische-Gleichungen-Tiegern 😉
Ein kleiner Ausflug in die Theorie
Jede quadratische Gleichung kann durch Umformen in die allgemeine Form umgewandelt werden:
\(y=a x^2+b x+c\)Die mathematisch unpräzise Aussage, “eine quadratische Gleichung zu lösen”, bedeutet in der Regel, dass die Nullstellen der jeweiligen Kurve gesucht werden, also jene x-Koordinate, an der die y-Koordinate den Wert 0 annimmt, also die x-Achse schneidet:
\(0=a x^2+b x+c\)Wenn nun a=0 wird, ist die ganze Angelegenheit ziemlich trivial, denn dann kann die Nullstelle der Kurve einfach wie folgt ermittelt werden:
\(0=0+b x+c\)
\(x_1=-\frac{c}{b}\)
Das war einfach, in diesem Fall handelt es sich ja um eine Gerade. Was aber, wenn \(a \neq 0\) ist? Dann wird aus der Geraden ein quadratische Parabel, und die kann die x-Achse an keiner, an einer oder an zwei Stellen schneiden. Ein direktes Umformen ist hier nicht mehr ganz so leicht aber doch möglich. Die Sache wird etwas einfacher, wenn Du aus der allgemeinen Form die sogenannte Normalform erzeugst:
\(0=a x^2+b x+c\:\:\:|:a\)
\(0=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\)
\(0=x^2+p x+q\)
und wie die Ableitung nun weiter geht erspare ich Dir und mir hier an dieser Stelle, und Verweise für den strebsam interessierten Leser auf die passende Wikipedia-Seite. Wichtig ist hier dann das Ergebnis:
\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt[2]{(\frac{p}{2})^2-q}\)für die Normalform der quadratischen Gleichung bzw.
\(x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}\)für die allgemeine Form der quadratischen Gleichung.
Beide Versionen lassen sich natürlich problemlos ineinander überführen. Bei diesen Lösungen ist aber darauf zu achten, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ wird, denn dann verlassen wir den reellen Zahlenbereich. In diesem Fall ergibt sich für das “übliche” rechnen demnach das Kriterium dass die Determinante (das ist der Ausdruck unter der Wurzel) gleich 0 oder größer als 0 ist. Im ersten Fall fallen beide Nullstellen zu einer zusammen \(x_1=x_2\), hier gibt es dann genau nur eine Lösung. Im zweiten Fall gibt es die erwarteten 2 Lösungen.
Das alles lässt sich super in eine Excel Tabelle packen. Dort können alle Kriterien abgefragt werden, es können grafische Auswertungen vorgenommen werden und so weiter und so fort. Bei numerischen Berechnungen ist Excel nun mal einfach unschlagbar!
In allen Downloads sind die Formelapparate aller Berechnungsverfahren ausführlich zusammengestellt. Aus diesem Grund wird in weiterer Folge auf eine Wiederholung der verwendeten Formeln und Rechenabläufe verzichtet.
pq Formel vs abc Formel
Beide Formeln sind wie oben beschrieben sehr verwandt und können direkt in einander übergeführt werden. Es ist eher Geschmacksache, welche dieser beiden Formeln der Vorzug gegeben werden soll. Ich persönlich tendiere zur allgemeinen Form, also der abc Formel, da es einen Rechenschritt weniger benötigt, um die Ausgangsgleichung herzustellen. Und wenn ich a=1 setzte, erhalte ich ohne weiteres Umformen direkt die pq Formel.
In den Download Tabellen sind beide Versionen zusammengestellt, Du kannst dann selbst herausfinden, welche Lösung Du bevorzugst.
Grafische Lösung
Die grafische Lösung veranschaulicht den theoretischen Hintergrund sehr gut. Händisch wird dabei so vorgegangen dass zu einer Vielzahl von “zufällig” gewählten x-Werten die zugehörigen y-Werte wie folgt ermittelt werden:
gewählt \(x_1\), daraus folgt \(y_1=a x_1^2+b x_1+c\),
gewählt \(x_2\), daraus folgt \(y_2=a x_2^2+b x_2+c\),
und so weiter.
Bei fleißigen und intelligenten Vorgehen wirst Du schnell die Nullstellen finden. Dieses Verfahren zählt aber zu den Iterationsmethoden, da die Nullstellen hier nur näherungsweise errechnet beziehungsweise konstruiert werden können. Dieses sehr interessante Kapitel wird demnächst in einem eigenen Beitrag behandelt. Die zugehörige Excel Tabelle liegt zum Download bereit, so brachst Du nicht selbst alles zeichnen und rechnen.
Satz von Vieta
Der Satz von Vieta ist im Grunde genommen eher ein gute Training für das Kopfrechnen, als solches ist er für Geübte aber ein feines Werkzeug, blitzschnell die Nullstellen einer quadratischen Gleichung ermitteln zu können. Die Ausgangsgleichung ist die Normalform, denn nur so kann der Kopfaufwand in vertretbarem Rahmen gehalten werden. Die genaue Vorgangsweise ist in der Download-Tabelle beschrieben, zusätzlich ist eine Berechnungshilfe integriert, um das Kopfrechentraining einen guten Startschuss zu geben.
Ausblick
An dieser Stelle sei angemerkt, dass es tatsächlich noch eine ganze Anzahl von sinnvollen und unsinnigen Lösungsverfahren gibt.
Ein riesiges und faszinierendes Kapitel ist die Welt der numerischen Iterationsverfahren. Wir haben diesen Kosmos bereits am Rande bei der grafischen Nullstellen-Suche gestreift. Tatsächlich ist dieses Werkzeug ungemein mächtig und birgt insbesondere bei Excel noch ein gutes Entwicklungsfeld. Ich spreche hier einmal die Excelbegriffe “Solver”, “Zielwertsuche” oder ganz allgemein “Makroprogrammierung” an.
Sollte Dir noch ein weiterer direkter Berechnungsweg einfallen, freue ich mich über jede Rückmeldung!